☛ Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

Énoncé

L'espace est muni d'un repère \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

1. Soit \(d\) la droite passant par \(\text A(-1~;-2~;~0)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 0 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix}\) . Donner une représentation paramétrique de \(d\) .

2. Soit \(d\) la droite passant par \(\text A(2~;-1~;~1)\) et \(\text B(-2~;~1~;~3)\) . Déterminer une représentation paramétrique de \(d\) .

Solution

1. Un point \(\text M(x~;~y~;~z)\)  appartient à la droite  \(d\)  si et seulement s'il existe un réel  \(t\)  tel que  \(\begin{cases} x=-1+t\times 0 \\ y=-2+t\times (-1)\\ z=0+t\times 1 \end{cases}\) .
Une représentation paramétrique de \(d\)  est alors :  \(\begin{cases} x=-1 \\ y=-2-t\\ z=t \end{cases}\) , avec \(t\in\mathbb R\) .

2.    La droite  \(d\) passe par \(\text A\)  et a comme vecteur directeur  \(\overrightarrow{\text A\text B} \begin{pmatrix} -4 \\ 2\\ 2 \end{pmatrix}\) . 
Une représentation paramétrique de \(d\)  est alors :  \(\begin{cases} x=2-4t \\ y=-1+2t\\ z=1+2t \end{cases}\) , avec \(t\in\mathbb R\) . 

Remarque

Dans cette dernière question, on aurait pu choisir le point \(\text B\) à la place du point \(\text A\)  comme point de la droite \(d\) . De même, on aurait pu choisir comme vecteur directeur de la   droite \(d\) un multiple non nul du vecteur \(\overrightarrow{\text A\text B}\) , par exemp le  \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\) .